TUhjnbcbe - 2024/5/3 18:07:00
整体思想是中学数学非常重要的思维模式。在很多题目中，用整体思维解题不仅可以减少计算量，还可以避免出现漏解的情况。比如今天和大家分享的这道经典的初中数学竞赛题：已知a^6+a^7+a^8=0，求a^99的值。现在让初中生来做正确率都不到5%，甚至有网友质疑答案有问题。下面一起来看一下这道题。不少人看到题目后都认为这是一道送分题，因为很明显a=0，所以答案就是0。但是真的是这样吗？先将题目中的已知条件进行变形，提出a^7，则变为a^7(1+a+a)=0，所以a=0或者a+a+1=0。a=0大家都没有问题，但是a+a+1=0，不少人一看判别式小于零，所以认为没有解了。那么我们先一道日本的初中数学竞赛题：已知a+5a+25=0，求a。这道题中判别式也是小于零的，那么是不是这道题就没有解了？当然不是，这实际上也是考的整体思想。将a写成a·a，再将题干中的等式变形后代入计算就可以求出a的值，而不需要求出a的具体值，这就是整体思想的体现。本题也是一样，可以先求出a的值：a=a·a=(-a-1)a=-(a+a)=1，所以a^99=(a)^33=1。过程如下：计算到a+a+1=0这一步时，除了可以用上面的循环代入，还可以用立方差公式(a-b=(a-b)(a+ab+b))求解。因为a+a+1=0，所以两边同时乘以(a-1)时就变成了(a-1)(a+a+1)=0，左边刚好是一个立方差的展开式，计算出来就是a-1=0，所以a=1。对于“1”这个答案，有人质疑是错误的。因为a=1，所以a=1，代入题干明显不成立。其实，在实数范围内，a=1时a=1是成立的，但是在复数范围内还有其他的解。根据复数的定义，i=-1，那么如果a=(-1+√3i)/2，计算出来后a还是等于1。看到这儿，有网友说a^99=1这个答案也是超纲了，初中根本没有学习复数，默认就是实数范围内的数。但是不要忘了整体思想也是初中数学的重要思想，题目并不需要懂得复数，采用整体代入的方法还是可以得到答案。所以并不算超纲题。这道题的正确率并不高，就是大部分考生忽略了a^99为“1”这个答案，如果是你，你能得到满分吗？