TUhjnbcbe - 2023/12/4 23:50:00
大家好！今天和大家分享一道加拿大初中数学竞赛题。据说正确率不到2％，国内初三学生看过题目后却说还没有中考题难。下面我们一起来看看这道加拿大数学竞赛题。题目：如图，已知AB=CD=1，∠ABC=90°，∠CBD=30°，求AC的长度。本题的条件不多，只有两个长度、两个角度，不过数学中有这样一句话：“题目条件越少，题目往往越难。”先来看看题目，图中有个直角，还有个30°的角，很容易想到勾股定理以及有一个角为30°的直角三角形，所以先想办法构造有30°角的直角三角形。比较容易想到的一个做辅助线的方法就是直接过C点做CE⊥BD于点E，如下图：这样一来图中就出现了三个直角三角形：Rt△ABC、Rt△BCE、Rt△CDE，并且Rt△BCE中有一个角为30°，这是一个非常特殊的角。再设AC=x，那么可以在Rt△ABC中利用勾股定理求出BC的长度，然后在Rt△BCE中求可出BE、CE的长度，在Rt△CDE中可求出DE的长，但是如何将这些长度联系起来呢？除了余弦定理似乎也没有更好的办法了，不过国内初中并没有学习正余弦定理。如果学习了正余弦定理，那么就可以有更简单的方法了，甚至不需要做辅助线即可求解(见解法二)。解法一：利用相似求解前面过点C做CE⊥BD于点E，但是缺少条件，那么换一方向，过点C做CF∥AB交BD于点F(如下图)。因为∠ABC=90°，所以∠BCF=90°，即△BCF为直角三角形。设AC=x，在Rt△ABC中，由勾股定理可以求出BC的长度，即BC=√(x-1)；在Rt△BCF中，根据锐角三角函数可求出CF的长度，即CF=BCtan30°。又因为CF∥AB，所以△CFD相似于△ABC，所以CD/AD=CF/AB，即可得到关于x的方程，解出方程即可。过程见下图。解法二：正弦定理正弦定理：在△ABC中，角A、B、C的对标分别为a、b、c，则：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R(R为外接圆半径)。设AC=x，则在Rt△ABC中，BC=√(x-1)。在△ABD中，由正弦定理可得，AB/sinD=AD/sin∠ABD，从而可求出sinD的一个表达式。在△BCD中，由正弦定理可得，BC/sinD=CD/sin∠CBD，又可以得到sinD的一个表达式。联立sinD的两个表达式，得到关于x的方程，解出方程即可。过程见下图。这道加拿大初中数学竞赛题，虽然据说正确率只有2％，但是难度并不算大，不少国内初三学生觉得还没有中考题难。你觉得难吗？